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证明对任意常数 K ，logkN = o(N)
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zmxnv123 2023-10-15 11:50:15 +08:00
要证明对于任意常数 K ，logkN = o(N)，我们需要使用大 O 符号的定义并应用极限的概念。
根据定义，我们需要证明对于任意常数 K ，存在一个正常数 c ，使得当 N 足够大时，有 |logkN| ≤ c|N|。 我们来思考 logkN 和 N 之间的关系。可以使用对数性质将其转化为 k^logkN = N 。 这表示 N 是以 k 为底的 k^logkN 的幂。 接下来，我们将考虑两种情况：当底数 k 大于 1 和 k 等于 1 时。 1. 当底数 k 大于 1 时： 由于对数函数的增长性质，我们可以得到 logkN ≤ N for all N > 0 。这意味着对于任意常数 K 和 N ，我们有 logkN ≤ N 。因此，我们可以选择 c = 1 来满足不等式 |logkN| ≤ c|N|，因为 logkN 的增长速度小于或等于 N 的增长速度。 2. 当底数 k 等于 1 时： 由于 log1N = 0 for all N > 0 ，我们可以将不等式变为 |log1N| ≤ c|N|。由于 log1N 在任意 N 的范围内都是常数 0 ，我们可以选择任意正常数 c 来满足不等式。 综上所述，对于任意常数 K ，logkN = o(N) 成立。 ---------------------------------------------------------- powerd by ChatGPT |
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vituralfuture 2023-10-15 12:10:43 +08:00 via Android
大 O 符号描述的是函数的上界。logkN=logk+logN ，取 N 到正无穷的极限，小于 N ，所以 logkN=O(N)
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geelaw 2023-10-15 12:24:49 +08:00 via iPhone
@zmxnv123 #1 ChatGPT 做证明题经常生成胡言乱语，可以作为很好纠错练习生成器。
@vituralfuture #2 o 和 O 是两个概念。 最后回楼主：K 和 k 什么关系啊？另外作业题请自己做。 |
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sylxjtu 2023-10-15 12:29:16 +08:00 via Android
洛必达法则 lim N \to \infty logkN/N = lim N \to \infty (1/N)/1 = \lim N \to \infty N 趋向于正无穷，根据小 o 符号定义即为所证
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Tiaa OP @geelaw 回复一下，这确实是一个作业题，只是不太了解应该怎么具体去实现（太久没有学数学了），所以才想着看看大家的做题思路。
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Kirscheis 2023-10-15 13:44:52 +08:00
这是一个定义习题，应该是刚学小 o 标记的习题。小 o 标记的意思就是只要 N 充分大，函数与小 o 记号内函数的比值趋于 0 。
所以对任意 c∈R ，求 log(kN)/(cN) 当 N ➡ +∞ 时的极限即可，由于此时上下都➡ +∞，可以用洛必达法则求极限，得到结果为 0 ，按定义即得证。 |
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yolee599 2023-10-15 14:10:16 +08:00 via Android
@zmxnv123 #1 这个过程你验证过吗？另外 v 站禁止发 AI 生成的内容，会被站长 ban
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geelaw 2023-10-15 14:21:25 +08:00 via iPhone
@Tiaa #5 但你依然没有解释 K 和 k 有什么关系。数学符号的大小写不可以互换，意思不同。另外 logkN 的含义也不明确，有人理解为 log_k N ，有人理解为 log kN ，后一种情况你也没有说 log 的底数（数学文本中会默认是自然对数）——虽然底数对这个结论没有影响，但是既然你在练习定义，最好把每一步都做得比较明确。
作为作业题，你可以先从你会的开始，比如背诵一遍 o 的定义，然后你就会发现要做这个证明，只需要实现它的定义。试试看？ |
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chitanda 2023-10-15 15:59:12 +08:00
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Tiaa OP @
@geelaw 你好，感谢你的耐心回复。关于 K 和 k 的关系，只是一开始为了区分 k 是为真数，然而当时我输入时没有找到该输入的符号，因此用 k 来输出，可以看作 K 和 k 都为一个任意常数进行计算。并且我会试着用您所说的 o 的定义再去证明看看的。 |
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LaTero 2023-10-15 20:39:46 +08:00 via Android
k 是无所谓的，换底公式就变成一个系数了，还是符合大 O 。然后注意 ln(n)/n = ln(n^(1/n))，再求 n^(1/n)的极限，这个极限一般教材例题就有。
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LaTero 2023-10-15 20:49:30 +08:00 via Android
lim log_k(n)/n = lim log_k(n^(1/n) = log_k(lim n^(1/n)) = log_k(1) = 0
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lance6716 2023-10-15 20:51:22 +08:00 via Android
op 成功证明了，如果一个人能把问题定义清楚，他大概率就能自己解决问题。连哪里有歧义都意识不到大概率是没法解决问题的
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LaTero 2023-10-15 20:52:58 +08:00
说实话你这个问题有点太基础了，建议好好补一补基础。数学问题最好去 math.stackexchange.com 查。https://math.stackexchange.com/questions/1642671/prove-lim-n-to-infty-frac-lnnn-0-without-lhospitals-rule
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bravecarrot 2023-10-15 22:08:10 +08:00
logkN = logk + logN 显而易见了啊
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