如何在 sage 或 mathematics 中写代码才能得到分段解，避免沉默错误？

[Hlianbobo]

例如我们要求 sqrt(2+2*cosx)的不定积分 和 0-2pi 的数值积分

关键步骤时到了 sqrt(4*(cos(x/2))^2) 开平方后 要变成 abs(2*(cos(x/2)）如果我们要求这个绝对值的不定积分 或 0 到 2pi 的数值积分。假设我们在考试。
那么不定积分应该写成：x 属于 0-pi：4sin(θ/2)
x 属于 pi-2pi： -4sin(θ/2)

数值积分当然应该在不同区间代入不同解析解求解。
达到以上标准才能得分。

可是当我用 sage 直接求 sqrt(2+2*cosx)的不定积分，只得到了 2 个解中的一个，即 4sin(θ/2) 。当然计算 0 到 2pi 的数值积分自然会得到错误答案 0 。

考虑到分段解在数学中非常常见。如果让软件自动给出分段解？（所谓自动的意思就时让软件自动划段，而不是人工去划段再分别计算结果） 从而避免出现沉默错误？注：该问的的讨论不局限于 sage，给出 mathematics 的代码也可以。主要是想得到一个思路，所以代码最好有注释




另外用 sage 求解 sqrt(2-2*cosx) 的不定积分。直接给出错误答案 https://sagecell.sagemath.org/?z=eJyrsC1LLNJQr1DX5MpJLEmt0MjMK0lNL0rM0dAw0jXSSs4v1qjQ1Iwz0DPVAdIAW0IN5Q==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

只有将计算步骤推进到 2*sin(x/2) 求不定积分。才能得到正确答案。不知道应该怎样写代码才能从第一步开始计算就能得到正确答案？

[necomancer]

x=var('x')
integral((2+2*cos(x))^0.5,x,0,2*pi, algorithm="giac")

[Hlianbobo]

@necomancer 谢谢你高质量的回复。数值积分确实可以得到正确结果。但是我试了一下不定积分。在保留“algorithm="giac" 的情况下。sage 直接停止思考，没有给出任何解析解。我在百度搜了一下 sage giac 。没有找到任何有价值的信息。想不出应该怎么举一反三解决解析解不完整的办法。

另外我发现诸如解方程也存在数值解不完整的情况。我试了在其中加上 algorithm="giac"，sage 直接报错了。这一点甚之不如 geogebra 。同样的返程 geogebra 绘出图包括了区间内所有的数值解。https://sagecell.sagemath.org/?z=eJyrsC1LLNJQr1DX5ErLzEuJL8rPL9HQTc4v1jDUN9Kq0NQCMSs0FbQVQPzizDyYOIgJFocosLU10DHQMdEqyNRJzEnPL8osyci1VUrPTExW0gQA1wcdgQ==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==