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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

向量乘法为什么等同于点积?

  •  
  •   huzhikuizainali · 2022-02-15 08:45:48 +08:00 · 1789 次点击
    这是一个创建于 772 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    Vinty
        1
    Vinty  
       2022-02-15 09:33:10 +08:00
    没看到你想表达的是什么
    x*u = |x||u|*cos(Θ) =y*|u|
    u 是一个单位向量,那么这个就等于 x 在 u 上的投影 y
    huzhikuizainali
        2
    huzhikuizainali  
    OP
       2022-02-15 10:03:40 +08:00
    @Vinty 谢谢回复。
    请问第三行等式,如何从倒数第二步 推出最后一步的?倒数第二步是数值平方。怎么就推出最后一步的点积了?
    Vinty
        3
    Vinty  
       2022-02-15 10:33:22 +08:00
    我也不知道怎么解释,a^2=a*a

    因为向量和自身的夹角为 0 ,那么向量和自己相乘,等于向量模的平方
    (xu)^2 = xu*xu = |xu||xu|*cos(Θ)=|xu|^2
    前面说了 xu = |x||u|*cos(Θ), |xu| = |x||u|*cos(Θ)=y
    cybird
        4
    cybird  
       2022-02-15 10:33:39 +08:00
    向量的平方等于向量模的平方......
    a•a=|a|²cos0=|a|²
    0o0o0o0
        5
    0o0o0o0  
       2022-02-15 11:51:53 +08:00
    lance6716
        6
    lance6716  
       2022-02-15 13:18:21 +08:00 via Android
    自己把 aT * b 的逐元素计算写一下就知道了吧
    huzhikuizainali
        7
    huzhikuizainali  
    OP
       2022-02-15 20:00:17 +08:00
    @Vinty
    谢谢回复。主要是我记得过去学向量相关知识的时候没有学过向量有乘法。或者说向量乘法等于点积。所以:xu*xu = |xu||xu|*cos(Θ) 我就无法理解了。你如果说 xu.xu = |xu||xu|*cos(Θ) 我觉得没问题。

    所以这基本就是上述问题最困惑的地方。你是否看过什么教科书上讲过有向量乘法(不是点乘,不是点积,是乘法) 与向量点积等价?如果有书籍讲过这方面内容可否推荐一下?
    huzhikuizainali
        8
    huzhikuizainali  
    OP
       2022-02-15 20:04:55 +08:00
    @0o0o0o0 显示视频不存在。
    0o0o0o0
        9
    0o0o0o0  
       2022-02-17 17:37:25 +08:00
    @huzhikuizainali 你是不是装了什么插件。。。那你直接去 b 站搜 bv 号 BV1ys411472E
    0o0o0o0
        10
    0o0o0o0  
       2022-02-17 17:42:21 +08:00
    手机端可以搜 bv 号,网页端没法搜 bv 号,在 "www.bilibili.com/" 后面加 "BV1ys411472E" 应该可以访问
    geelaw
        11
    geelaw  
       2022-03-05 16:23:01 +08:00 via iPhone
    从符号上推测诸 y_i 是数(投影的长度,带符号),然后 y_i = x_i^T u 右边是列向量的转置乘列向量,即 1x1 矩阵。虽然我个人觉得把 1x1 矩阵和数等同会带来很多混乱,但这似乎是习惯了。

    注意数和数相乘,就是数和自己的转置相乘,因此 (x_i^T u)(x_i^T u) = (x_i^T u)^T (x_i^T u) = u^T x_i x_i^T u ,这就是最后一个等号,其目的大概是提取左右公因式 u^T 和 u 。
    LiubaiQ
        12
    LiubaiQ  
       2022-07-02 20:41:41 +08:00
    1. 高数同济版下册,向量的投影的定义是一个标量;
    2. 上式 x 和 u 都是向量,用到的运算是向量内积(即点乘),记法是矩阵记法(线代同济版,两向量都为列向量时,向量内积可以记为上式),结果是一个标量;

    所以运算符号使用上我觉得没问题。
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