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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

请问这个向量求导的结果是怎么得到的?

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  •   huzhikuizainali · 133 天前 · 622 次点击
    这是一个创建于 133 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    lance6716
        1
    lance6716  
       133 天前 via Android
    老哥你问这么多问题真的是基础不够扎实啊…先打一下数学基础吧

    vT*M*v 对 v 的导数是( M+MT )*v
    lambda 可以看成是普通的常数、M 也可能是 I
    huzhikuizainali
        2
    huzhikuizainali  
    OP
       132 天前
    @lance6716 请问是否可以进一步详细的讲解。或者这些知识点,哪本教材上讲的比较详细?
    necomancer
        3
    necomancer  
       132 天前
    先熟悉 einstein summation notation 和 Kronecker delta ,写开一项一项求,然后合并就行了,举个例子:
    矩阵乘法:A=Aij, x=xi
    xT A = xi Aij = Aij xi
    A x = Aij xj = xj Aij
    AT x= Aji xj = xj Aji
    比如 xTAx = xi Aij xj 对 xk 求导,根据乘法求导法则 ( f(x)g(x)' = f'g+fg') 等于 xi'(xk) Aij xj + xi Aij xj'(xk),因为 xi'(xk) = delta_ik ,同理 xj'(xk)=delta_jk ,所以 delta_ik Aij xj + xi Aij delta_jk = Akj xj + xi Aik ,对加和标的选择是任意的(加和可以任意换序),所以 Akj xj = Aki xi ,所以原式=Aki xi + xi Aik = (Aik+Aki)xi = (A+AT)x ,如果再不能理解就写个 2 阶矩阵 a11 a12 a21 a22 和向量 x1 x2 ,自己试试
    necomancer
        4
    necomancer  
       132 天前   ❤️ 1
    至于对向量求导,也是基本定义,一个标量场(输入向量,输出数字)的函数,f(x) = y ,x=(x1, x2...),则 f'(x)定义为向量
    (f(x1,x2,...)'x1, f(x1,x2...)'x2, f'x3, f'x4....)
    如果
    f(x)是一个向量场 f(x1,x2,...) = (y1,y2,...)
    则 f'x 是一个二阶矩阵
    y1'x1 y1'x2,...
    y2'x1, y2'x2...
    也就是对向量求导需要对每一项求导,所以 xTA x 对 x 求导就是一个标量场对向量求导,需要对 x 每一项分别求导,所以需要引入新的下标 k ,(xi Aij xj)'(xk)
    这些属于向量微积分,张量代数的基础知识,如果你不想完整学这些,就熟悉一下 einstein summation ,kronecker delta 然后逐项手写,实在不行就写个二阶矩阵然后逐项写,熟悉一下这方面就没问题了,学完数学是 overkill 的
    lance6716
        5
    lance6716  
       132 天前 via Android
    @huzhikuizainali 个人感觉一般的本科教材都会涉及,讲得不好但是基本概念是会理清楚的。我们的教材貌似是工科线性代数?记不清了。

    如同下面说的,从定义出发,解释这些符号的含义,然后推出在这种定义下一些简洁的、便于记忆的性质。这样的话你遇到一个不清楚的推导起码可以从定义完整的计算一遍
    huzhikuizainali
        6
    huzhikuizainali  
    OP
       132 天前
    @necomancer 谢谢指明方向。请教两个问题。

    1 、向量微积分,张量代数 一般属于哪个数学分支的内容?目前学的线性代数导论好像还没接触过这些内容。多元微积分里学过向量值函数。向量场。但是没有讲过标量对向量求导,向量对向量求导……

    2 、请教一下你是学什么专业的?在你的专业领域如果遇到数学障碍你是如何快速找到相关问题的数学出处,以及适合自己的教学资源(书,视频……),并掌握好学习数学的深度和广度?
    necomancer
        7
    necomancer  
       131 天前 via iPhone
    1. 说分枝都属微分几何吧。
    2. 我做分子模拟的。用英语搜问题。很多专有名词不像汉语需要翻译时创造,而是在英语中自然而然的,毕竟近现代学科发展通用英语。你试试谷歌一下 derivative of vectors ,然后优先看带 edu 域名的结果,或者 math stack exchange ,或者 wikipedia ,一般就够了。
    huzhikuizainali
        8
    huzhikuizainali  
    OP
       131 天前
    @necomancer 谢谢指教。学习了!
    huzhikuizainali
        9
    huzhikuizainali  
    OP
       131 天前
    @necomancer 再谈个题外话。学数学怎么对抗遗忘呢?很多知识当时搞得明明白白,自己把书中的跳步都弥补了,笔记根据自己的理解重述知识,记得很详细。课后题也都做了。过了一段时间再看这本书目录,完全想不起来这一章在讲什么内容。如果要回忆起来,还要重看这一章或者笔记。
    每当遇到这种情况就会产生自我怀疑。比如,你真的学会了么?什么叫懂数学?什么叫掌握了知识?
    所以你有什么办法很好的解决这个问题么?
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